Multiple polylogarithm values at roots of unity

For any positive integer N let μN be the group of the N th roots of unity. In this note we shall study the Q-linear relations among the values of multiple polylogarithms evaluated at μN . We show that the standard relations considered by Racinet do not provide all the possible relations in the following cases: (i) level N = 4, weight w = 3 or 4, and (ii) w = 2, 7 <N < 50, and N is a power of 2 or 3, or N has at least two prime factors. We further find some (presumably all) of the missing relations in (i) by using the octahedral symmetry of P1 − ({0,∞}∪μ4). We also prove some other results when N = p or N = p2 (p prime 5) by using the motivic fundamental group of P1 − ({0,∞}∪μN). To cite this article: J. Zhao, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Valeurs de polylogarithmes multiples en des racines de l’unité. Soient N un entier positif et μN le groupe des racines N ièmes de l’unité. Nous étudions les relations Q-linéaires entre les valeurs de polylogarithmes multiples évalués en ces racines de l’unité. Nous montrons que les relations standard considérées par Racinet ne fournissent pas toutes les relations dans les cas suivants : (i) N = 4, poids w = 3 ou 4, et (ii) w = 2, 7 <N < 50, et N est une puissance de 2 ou 3, ou N a au moins deux facteurs premiers. Dans le cas (i), nous trouvons des (sans doute, toutes les) relations manquantes à l’aide de la symétrie octaédrale de P1 − ({0,∞}∪μ4). Utilisant le groupe fondamental motivique de P1 − ({0,∞} ∪μN), nous obtenons des résultats additionnels quand N = p ou N = p2 (p premier 5). Pour citer cet article : J. Zhao, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved.